Following the algorithm of Theorem REMEF, and working to create pivot columns from left to right, we have
\begin{align*}
&
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & -1 \\
2 & 4 & -1 & 4 \\
-1 & -2 & 3 & 5
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\rowopadd{-2}{1}{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
-1 & -2 & 3 & 5
\end{bmatrix}\\
\xrightarrow{\rowopadd{1}{1}{3}}
&
\begin{bmatrix}
\leading{1} & 2 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\rowopadd{1}{2}{1}}
\begin{bmatrix}
\leading{1} & 2 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 6 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{bmatrix}\\
\xrightarrow{\rowopadd{-2}{2}{3}}
&
\begin{bmatrix}
\leading{1} & 2 & 0 & 5 \\
0 & 0 & \leading{1} & 6 \\
0 & 0 & 0 & -8
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\rowopmult{-\frac{1}{8}}{3}}
\begin{bmatrix}
\leading{1} & 2 & 0 & 5 \\
0 & 0 & \leading{1} & 6 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
\xrightarrow{\rowopadd{-6}{3}{2}}
&
\begin{bmatrix}
\leading{1} & 2 & 0 & 5 \\
0 & 0 & \leading{1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\rowopadd{-5}{3}{1}}
\begin{bmatrix}
\leading{1} & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \leading{1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \leading{1}
\end{bmatrix}
\end{align*}